什么是描述统计？

描述性统计是一种以方便且信息丰富的方式整理、汇总和呈现数据的方法。
实际采用何种方法，取决于希望提取的信息。

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描述性统计的关注领域

集中趋势指标
均值（算术平均数）:
均值是算术平均数，计算方法是将数据集的所有值相加，再除以数据值的数量。对于包含测量值 X1、X2、…、Xn 的有限数据集（共 n 个数），公式定义如下：

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均值公式

样本均值用 x-bar（x 上加横线）表示。
总体均值用希腊字母 µ 表示。

给定数据集：12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
数据值之和 = (12+14+11+12+12+12+15+17+22+15+12) = 154
数据值数量 =（计算观测值总数）= 11
均值 =（数据值之和除以数据值总数）= 154/11 = 14


中位数:
将数据从小到大排序后，中间位置的值就是中位数。当观测值个数 n 为奇数时，中位数为位置 (n + 1)/2 的值；当个数为偶数时，中位数为位置 n/2 与 (n/2) + 1 两个值的平均数。

给定数据集：12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
升序排列：11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 17, 22
因此，数据集中间位置的数 中位数 = 12


众数:
众数是频率最高，即出现次数最多的数据值。

给定数据集：12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
出现次数最多的数据值， 众数 = 12


四分位数:
四分位数是有序数据的第 25、50 和 75 百分位数，用来标记分布的四个部分。对于有限样本或有重复值的数据，各部分的观测值数量不一定完全相等。样本四分位数的计算约定可能不同。

• 第一四分位数（记为 Q1）= 下四分位数 = 划出最低的 25% 数据 = 第 25 百分位数
• 第二四分位数（记为 Q2）= 中位数 = 将数据集分成两半 = 第 50 百分位数
• 第三四分位数（记为 Q3）= 上四分位数 = 划出最高的 25% 数据，或最低的 75% 数据 = 第 75 百分位数
• 上四分位数与下四分位数之差称为四分位距。

离散程度／变异指标
标准差:
标准差通过对数据偏离均值的差值进行平方，再取平方根来衡量分散程度；它并不是绝对距离的简单平均值。总体标准差记为 σ，样本标准差记为 s。

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标准差公式

在样本标准差公式中，Sx 表示样本标准差。
xi 是一个观测值，x-bar 是样本均值，n 是样本容量。
Σ 表示对所有观测值的平方偏差 (xi − x-bar)² 求和。将此和除以 n − 1，再取平方根。


方差:
方差定义为标准差的平方。总体方差表示为 σ 乘以 σ，样本方差表示为“s 乘以 s”。

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方差公式

在样本方差公式中，Sx² 表示样本方差。
xi 是一个观测值，x-bar 是样本均值，n 是样本容量。
Σ 表示对所有观测值的平方偏差 (xi − x-bar)² 求和。将此和除以 n − 1。


极差:
极差定义为数据集最大值与最小值之间的差。

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极差公式

ValueMax 表示数据集中的最高值（最大值），ValueMin 表示最低值（最小值）。

对于数据集 12, 13, 11, 12, 12
极差： 13 – 11 = 2
均值： (12+13+11+12+12) / 5 = 12
方差： [(X – 均值) 乘以 (X – 均值)] 之和 / (n – 1) = [0+1+1+0+0] / (5 – 1) = 2 / 4 = 0.50
标准差： 0.50 的平方根 = 0.7071