Qu’est-ce que la statistique descriptive ?

La statistique descriptive permet d’organiser, de résumer et de présenter les données de manière pratique et informative.
La méthode utilisée dépend des informations que nous souhaitons extraire.

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Domaines d’intérêt de la statistique descriptive

MESURES DE TENDANCE CENTRALE
MOYENNE (moyenne arithmétique):
La moyenne est la moyenne arithmétique calculée en additionnant toutes les valeurs du jeu de données, puis en divisant cette somme par le nombre de valeurs. Pour un ensemble fini de mesures X1, X2, …, Xn (un ensemble de n nombres), elle est définie par la formule suivante :

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Formule de la moyenne

La moyenne de l’échantillon est représentée par x-barre.
La moyenne de la population est représentée par la lettre grecque µ.

Pour le jeu de données suivant : 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
Somme des valeurs = (12+14+11+12+12+12+15+17+22+15+12) = 154
Nombre de valeurs = (compter toutes les observations) = 11
Moyenne = (diviser la somme des valeurs par le nombre total de valeurs) = 154/11 = 14


MÉDIANE:
La médiane est la valeur centrale après classement des données de la plus petite à la plus grande. Pour un nombre impair n d’observations, c’est la valeur située à la position (n + 1)/2. Pour un nombre pair, c’est la moyenne des valeurs situées aux positions n/2 et (n/2) + 1.

Pour le jeu de données suivant : 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
Ordre croissant : 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 17, 22
Ainsi, la valeur centrale du jeu de données Médiane = 12


MODE:
Le mode est la valeur qui présente la fréquence la plus élevée (le plus grand nombre d’occurrences).

Pour le jeu de données suivant : 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
Valeur la plus fréquente, Mode = 12


QUARTILES:
Les quartiles sont les percentiles 25, 50 et 75 des données ordonnées. Ils délimitent quatre portions de la distribution ; dans un échantillon fini ou en présence de valeurs identiques, celles-ci ne contiennent pas forcément exactement le même nombre d’observations. Les conventions de calcul des quartiles d’échantillon peuvent varier.

• Premier quartile (noté Q1) = quartile inférieur = délimite les 25 % les plus faibles des données = percentile 25
• Deuxième quartile (noté Q2) = médiane = partage le jeu de données en deux = percentile 50
• Troisième quartile (noté Q3) = quartile supérieur = délimite les 25 % les plus élevés des données, ou les 75 % les plus faibles = percentile 75
• La différence entre le quartile supérieur et le quartile inférieur est appelée écart interquartile.

MESURES DE DISPERSION/VARIATION
ÉCART-TYPE:
L’écart-type mesure la dispersion en utilisant les carrés des écarts à la moyenne, puis en prenant une racine carrée ; il ne s’agit pas de la simple moyenne des distances absolues. L’écart-type de la population est noté σ et celui de l’échantillon s.

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Formule de l’écart-type

Dans la formule de l’écart-type de l’échantillon, Sx désigne l’écart-type de l’échantillon.
xi est une observation, x-barre est la moyenne de l’échantillon et n est la taille de l’échantillon.
Σ signifie additionner les carrés des écarts (xi − x-barre)² pour toutes les observations. Divisez cette somme par n − 1, puis prenez la racine carrée.


VARIANCE:
La variance est définie comme le carré de l’écart-type. La variance de la population est représentée par σ fois σ. Celle de l’échantillon est représentée par « s fois s ».

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Formule de la variance

Dans la formule de la variance de l’échantillon, Sx² désigne la variance de l’échantillon.
xi est une observation, x-barre est la moyenne de l’échantillon et n est la taille de l’échantillon.
Σ signifie additionner les carrés des écarts (xi − x-barre)² pour toutes les observations. Divisez cette somme par n − 1.


ÉTENDUE:
L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d’un jeu de données.

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Formule de l’étendue

ValueMax désigne la valeur la plus élevée (maximum) du jeu de données et ValueMin la valeur la plus faible (minimum).

Dans un jeu de données tel que 12, 13, 11, 12, 12
Étendue : 13 – 11 = 2
Moyenne : (12+13+11+12+12) / 5 = 12
Variance : Somme de [(X – moyenne) fois (X – moyenne)] / (n – 1) = [0+1+1+0+0] / (5 – 1) = 2 / 4 = 0,50
Écart-type : Racine carrée de 0,50 = 0,7071