Was ist deskriptive Statistik?
Die deskriptive Statistik ist eine Methode, Daten übersichtlich und aussagekräftig zu ordnen, zusammenzufassen und darzustellen.Welche Methode verwendet wird, hängt davon ab, welche Informationen wir gewinnen möchten.
Themenbereiche der deskriptiven Statistik
LAGEMASSE
MITTELWERT (arithmetisches Mittel):
Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel. Er wird berechnet, indem alle Werte des Datensatzes addiert werden und die Summe durch die Anzahl der Datenwerte geteilt wird. Für einen endlichen Datensatz mit den Messwerten X1, X2, …, Xn (eine Menge aus n Zahlen) gilt folgende Formel:
Mittelwertformel
Der Stichprobenmittelwert wird durch x-quer dargestellt.
Der Mittelwert der Grundgesamtheit wird durch den griechischen Buchstaben µ dargestellt.
Für den folgenden Datensatz: 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
Summe der Datenwerte = (12+14+11+12+12+12+15+17+22+15+12) = 154
Anzahl der Datenwerte = (alle Beobachtungen zählen) = 11
Mittelwert = (Summe der Datenwerte durch die Gesamtzahl der Datenwerte teilen) = 154/11 = 14
MEDIAN:
Der Median ist der mittlere Wert, nachdem die Daten aufsteigend sortiert wurden. Bei einer ungeraden Anzahl n von Beobachtungen ist es der Wert an Position (n + 1)/2. Bei einer geraden Anzahl ist es der Durchschnitt der Werte an den Positionen n/2 und (n/2) + 1.
Für den folgenden Datensatz: 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
Aufsteigende Reihenfolge: 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 17, 22
Somit ist der mittlere Wert im Datensatz Median = 12
MODUS:
Der Modus ist der Datenwert mit der höchsten Häufigkeit (den meisten Vorkommen).
Für den folgenden Datensatz: 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
Am häufigsten auftretender Datenwert, Modus = 12
QUARTILE:
Quartile sind das 25., 50. und 75. Perzentil geordneter Daten. Sie markieren vier Bereiche der Verteilung. Bei einer endlichen Stichprobe oder gleichen Werten müssen diese nicht genau gleich viele Beobachtungen enthalten. Die Konventionen zur Berechnung von Stichprobenquartilen können sich unterscheiden.
- Erstes Quartil (Q1) = unteres Quartil = grenzt die niedrigsten 25 % der Daten ab = 25. Perzentil
- Zweites Quartil (Q2) = Median = teilt den Datensatz in zwei Hälften = 50. Perzentil
- Drittes Quartil (Q3) = oberes Quartil = grenzt die höchsten 25 % beziehungsweise die niedrigsten 75 % der Daten ab = 75. Perzentil
- Die Differenz zwischen oberem und unterem Quartil heißt Interquartilsabstand.
STREUUNGS-/VARIATIONSMASSE
STANDARDABWEICHUNG:
Die Standardabweichung misst die Streuung anhand der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, aus denen anschließend die Quadratwurzel gezogen wird. Sie ist nicht der einfache Durchschnitt der absoluten Abstände. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit wird mit σ bezeichnet, die der Stichprobe mit s.
Formel der Standardabweichung
In der Formel für die Stichprobenstandardabweichung bezeichnet Sx die Standardabweichung der Stichprobe.
xi ist eine Beobachtung, x-quer der Stichprobenmittelwert und n der Stichprobenumfang.
Σ bedeutet, die quadrierten Abweichungen (xi − x-quer)² über alle Beobachtungen zu summieren. Teilen Sie die Summe durch n − 1 und ziehen Sie anschließend die Quadratwurzel.
VARIANZ:
Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Die Varianz der Grundgesamtheit wird als σ mal σ dargestellt, die Stichprobenvarianz als „s mal s“.
Varianzformel
In der Formel für die Stichprobenvarianz bezeichnet Sx² die Varianz der Stichprobe.
xi ist eine Beobachtung, x-quer der Stichprobenmittelwert und n der Stichprobenumfang.
Σ bedeutet, die quadrierten Abweichungen (xi − x-quer)² über alle Beobachtungen zu summieren. Teilen Sie die Summe durch n − 1.
SPANNWEITE:
Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert eines Datensatzes.
Spannweitenformel
ValueMax bezeichnet den höchsten (maximalen) Wert im Datensatz und ValueMin den niedrigsten (minimalen) Wert.
In einem Datensatz wie 12, 13, 11, 12, 12
Spannweite: 13 – 11 = 2
Mittelwert: (12+13+11+12+12) / 5 = 12
Varianz: Summe von [(X – Mittelwert) mal (X – Mittelwert)] / (n – 1) = [0+1+1+0+0] / (5 – 1) = 2 / 4 = 0,50
Standardabweichung: Quadratwurzel aus 0,50 = 0,7071
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