वर्णनात्मक सांख्यिकी क्या है?

वर्णनात्मक सांख्यिकी डेटा को सुविधाजनक और जानकारीपूर्ण ढंग से व्यवस्थित, संक्षेपित और प्रस्तुत करने की विधि है।
प्रयुक्त विधि इस पर निर्भर करती है कि हम कौन-सी जानकारी प्राप्त करना चाहते हैं।

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वर्णनात्मक सांख्यिकी के अध्ययन क्षेत्र

केंद्रीय प्रवृत्ति के माप
माध्य (अंकगणितीय औसत):
माध्य अंकगणितीय औसत है, जिसे डेटा के सभी मान जोड़कर और उस योग को मानों की संख्या से भाग देकर निकालते हैं। X1, X2, …, Xn मापन मानों वाले सीमित डेटा समूह (n संख्याओं का समूह) के लिए इसे इस सूत्र से परिभाषित करते हैं:

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माध्य का सूत्र

नमूने का माध्य x-bar से दर्शाते हैं।
जनसंख्या का माध्य यूनानी अक्षर µ से दर्शाते हैं।

दिए गए डेटा के लिए: 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
डेटा मानों का योग = (12+14+11+12+12+12+15+17+22+15+12) = 154
डेटा मानों की संख्या = (सभी प्रेक्षण गिनें) = 11
माध्य = (डेटा मानों का योग कुल मानों की संख्या से भाग दें) = 154/11 = 14


मध्यिका:
डेटा छोटे से बड़े क्रम में रखने के बाद बीच का मान मध्यिका होता है। प्रेक्षणों की संख्या n विषम हो तो यह (n + 1)/2 स्थान का मान है। सम हो तो n/2 और (n/2) + 1 स्थानों के मानों का औसत है।

दिए गए डेटा के लिए: 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
आरोही क्रम: 11, 12, 12, 12, 12, 12, 14, 15, 15, 17, 22
इस प्रकार, डेटा का बीच वाला मान मध्यिका = 12


बहुलक:
बहुलक वह डेटा मान है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक है, यानी जो सबसे अधिक बार आता है।

दिए गए डेटा के लिए: 12, 14, 11, 12, 12, 12, 15, 17, 22, 15, 12
सबसे अधिक बार आने वाला डेटा मान, बहुलक = 12


चतुर्थक:
चतुर्थक क्रमबद्ध डेटा के 25वें, 50वें और 75वें प्रतिशतक हैं। वे वितरण के चार भाग दर्शाते हैं; सीमित नमूने या बराबर मानों के होने पर हर भाग में प्रेक्षणों की संख्या बिल्कुल समान होना आवश्यक नहीं। नमूना चतुर्थकों की गणना की परंपराएँ अलग हो सकती हैं।

• प्रथम चतुर्थक (Q1) = निचला चतुर्थक = सबसे निचले 25% डेटा को अलग करता है = 25वाँ प्रतिशतक
• द्वितीय चतुर्थक (Q2) = मध्यिका = डेटा को आधा बाँटता है = 50वाँ प्रतिशतक
• तृतीय चतुर्थक (Q3) = ऊपरी चतुर्थक = सबसे ऊँचे 25% या सबसे निचले 75% डेटा को अलग करता है = 75वाँ प्रतिशतक
• ऊपरी और निचले चतुर्थक का अंतर अंतर्चतुर्थक परास कहलाता है।

प्रकीर्णन/भिन्नता के माप
मानक विचलन:
मानक विचलन, माध्य से विचलनों के वर्ग लेकर फिर वर्गमूल निकालने से फैलाव मापता है; यह निरपेक्ष दूरियों का साधारण औसत नहीं है। जनसंख्या का मानक विचलन σ और नमूने का मानक विचलन s से दर्शाते हैं।

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मानक विचलन का सूत्र

नमूना मानक विचलन के सूत्र में Sx, नमूने का मानक विचलन है।
xi एक प्रेक्षण, x-bar नमूने का माध्य और n नमूने का आकार है।
Σ का अर्थ सभी प्रेक्षणों के लिए विचलनों के वर्ग (xi − x-bar)² जोड़ना है। योग को n − 1 से भाग दें, फिर वर्गमूल निकालें।


प्रसरण:
प्रसरण मानक विचलन का वर्ग है। जनसंख्या का प्रसरण σ गुणा σ और नमूने का प्रसरण “s गुणा s” से दर्शाते हैं।

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प्रसरण का सूत्र

नमूना प्रसरण के सूत्र में Sx², नमूने का प्रसरण है।
xi एक प्रेक्षण, x-bar नमूने का माध्य और n नमूने का आकार है।
Σ का अर्थ सभी प्रेक्षणों के लिए विचलनों के वर्ग (xi − x-bar)² जोड़ना है। योग को n − 1 से भाग दें।


परास:
परास डेटा के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान का अंतर है।

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परास का सूत्र

ValueMax डेटा का सबसे ऊँचा (अधिकतम) मान और ValueMin सबसे निचला (न्यूनतम) मान है।

इस तरह के डेटा में: 12, 13, 11, 12, 12
परास: 13 – 11 = 2
माध्य: (12+13+11+12+12) / 5 = 12
प्रसरण: [(X – माध्य) गुणा (X – माध्य)] का योग / (n – 1) = [0+1+1+0+0] / (5 – 1) = 2 / 4 = 0.50
मानक विचलन: 0.50 का वर्गमूल = 0.7071